L Hospital : Ngerjain Limit Turunan Matematika bisa pakai Cheat

Ada yang tahu L’Hospital ? Kagak bukan nama rumah sakit tapi nama orang,

Aslinya bernama pak prof Guillaume de l'Hôpital  tapi lebih dikenal sebagai L’Hopital, kagak tahu bagaimana ceritanya bisa jadi Hospital

Siapa dia ? Boleh dibilang, dialah orang yang pertama kali merumuskan cheat buat ngerjain soal matematika, tepatnya buat nyelesaikan Turunan

Bagi yang sudah belajar, tahu kan kalau untuk mengerjakan turunan itu harus menggunakan rumus yang ribet kek gini ?

$$ \lim_{∆x\rightarrow 0}{f{(x+∆x)}- f{(x)}\over ∆x} .$$

Yah kalau soalnya masih seperti x²  atau sin(x)  sih gampang, tapi kalau sudah demikian gimana ?

$$ \lim_{x\rightarrow 4}{sin^2{(x^2-16)} \over x^3-4x^2} .$$


Yah bisa sih kalau ada yang tahu rumus seperti ini

$$ {y = u.v} =  {dy = {d(u).v - d(v).u \over d^2(v) }}.$$

Tapi bakalan sangat panjaaaaaannnngggg cara mengerjakannya. Nah disinilah berperannya Pak De L’Hospital, hasil penelitiannya, dia merumuskan cara mudah mengerjakan Turunan

Caranya gimana ? Simpelnya, yaudah tinggal turunkan saja setiap variabelnya

Namun, untuk dapat melakukannya ada aturan yang harus dipenuhi terlebih dahulu. Lh=Hospital hanya bisa digunakan untuk limit yang hasilnya adalah

$$ {0\over 0} atau \ { ∞ \over ∞ } .$$

Atau dikenal juga dimana nilai limitnya tidak ada

Maksudnya bagaimana ?

Jadi sebelum mengerjakan limit dengan teorema L Hospital, subsitusikan dulu batasan limitnya ke dalam persamaan, dan apabila didapatkan hasilnya 0/0 atau ∞/∞ maka Lhospital bisa digunakan

Misalkan ada persamaan berikut

$$ \lim_{x\rightarrow 3}{x^3-5x+3\over x^2+3x} .$$

Apabila dimasukkan nilai batasan limit yakni x->3 ke dalam persamaan sehingga menjadi

$$ {(3)^3-5(3)+3 \over (3)^2+3(3)} =  {27-15+3 \over 9+9} =  {15 \over 18} .$$

Terlihat bukan bahwa hasilnya bukan

$$ {0\over 0} atau \ { ∞ \over ∞ } .$$

Artinya persamaan diatas TIDAK BOLEH diturunkan menggunakan aturan L Hospital karena nilai limitnya ada

Paham bukan ?. Nah sekarang kita contohkan ada soal lain, misalkan

$$ \lim_{x\rightarrow 2}{x^3-8\over x^2-2x} .$$

Apabila batas x->2 dimasukkan ke dalam persamaan akan didapatkan

$$ {(2)^3-8\over (2)^2-2(2)} =  { 8 – 8 \over 4 – 4 } =  {0 \over 0}.$$

Nah karena jawabannya didapatkan 0/0, bisa menggunakan  teorema L hospital yakni dengan cara

menurunkan - setiap - variabel, satu persatu

Yakni persamaan diatas, x³ menjadi 3x² , 8 diturunkan menjadi 0 . persamaan dibawah, x² menjadi 2x , 2x menjadi 2 sehingga didapatkan

$$ \lim_{x\rightarrow 2}{x^3-8\over x^2-2x} = \ {3x^2-0 \over 2x-2}.$$

Lalu subsitusikan batas x->2 ke dalam hasil turunan

$$\ {3x^2-0\over 2x-2} = \ {3(2)^2-0\over 2(2)-2} = \ {12\over 2} = \ {6}.$$

Maka jawaban dari soal diatas adalah sebagai berikut

$$ \lim_{x\rightarrow 2}{x^3-8\over x^2-2x} = \ {6}.$$

Gampang bukan ?

Yuk dicoba contoh yang lain

$$ \lim_{x\rightarrow 4}{sin^2{(x^2-16)} \over x^3-4x^2} .$$

Nah apabila batas x->4 disubstitusi ke dalam persamaan diatas, maka didapatkan

$$ \ {sin^2{((4)^2-16)} \over (4)^3-4(4)^2} = \ {sin^2 (0) \over 64-64} = \ {0 \over 0}.$$

Nah karena jawabannya juga 0/0, maka kita bisa menggunakan dalil LHospital

Untuk bagian atas, sin²(x²-16) diturunkan menjadi 2.sin(x²-16).cos(x²-16).(2x-0) atau 4x.sin(x²-16). cos(x²-16) Sedang bagian dibawahnya x³ menjadi 3x² dan 4x² menjadi 8x sehingga

$$ \lim_{x\rightarrow 4}{sin^2{(x^2-16)} \over x^3-4x^2} = \ {4x.sin{(x^2-16)}.cos{(x^2-16)} \over 3x^2-8x}.$$

Kemudian subsitusikan nilai x->4 ke dalam persamaan hasil turunan tadi menjadi

$$ \ {4(4).sin{((4)^2-16)}. cos{((4)^2-16)}. \over 3(4)^2-8(4)} = \ {16.sin{(0)}.cos{(0)} \over (48-32)} = \ {16.0.1 \over (16)} = \ {0\over16} = \ {0}.$$

Jadi didapatkan jawaban dari persamaan diatas adalah 0 dan ingat 0 berbeda dengan 0/0 jadi jawaban 0 diperbolehkan

Gampang bukan ?

Begitulah cara untuk mengerjakan Limit Fungsi menggunakan LHospital, jangan lupa pastikan dulu aturan utamanya terpenuhi dan baru boleh mengerjakan dengan teorema LHospital

Selamat Belajar